自由 Lie 代数对应的 Lie 群及其普遍性

考虑具有生成元 $\omega_1$, $\dots$, $\omega_n$ 的实自由 Lie 代数 $\mathfrak{fr}_n$。由于它是正grading的，故存在由形式级数组成的完成 $\overline{\mathfrak{fr}}_n$。依据 Campbell-Hausdorff 公式，我们得到对应的 Lie 群 $\overline{\mathrm{Fr}}_n$。该群是 $\exp\bigl(\overline{\mathfrak{fr}}_n\bigr)$ 在 $\mathfrak{fr}_n$ 的完备普遍包络代数中的集合。此外，群 $\overline{\mathrm{Fr}}_n$ 是 '子流形' 位于 $\omega_1$, $\dots$, $\omega_n$ 中非交换形式系列代数中，'子流形' 由一组特定的二次方程组决定。我们考虑具有更强（托波利）拓扑的致密子群 $\mathrm{Fr}_n^\infty\subset \overline{\mathrm{Fr}}_n$，并展示任何从 $\mathfrak{fr}_n$ 到实有限维 Lie 代数 $\mathfrak{g}$ 的同态 $\pi$ 都唯一地可集成到从 $\mathrm{Fr}_n^\infty$ 到相应的简单连通 Lie 群 $G$ 的同态 $\Pi$。若 $\pi$ 为满射，则 $\Pi$ 亦为满射。注意 Pestov (1993) 构造了一个可分离巴拿赫-Lie 群，使得任何可分离巴拿赫-Lie 群都是其商。