无界域上神经场非局部模型生成的梯度流

在本文中，我们考虑非局部演化方程 $$\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + u(x,t)= \int_{\mathbb{R}^{N}}J(x-y)f(u(y,t))\rho(y)dy+ h(x).$$ 我们证明该方程在由有界连续函数构成的空间 $C_{b}(\mathbb{R}^{N})$ 以及连续函数 $u$ 满足 $u \cdot \rho$ 有界的空间 $C_{\rho}(\mathbb{R}^{N})$ 中定义了一个连续流，其中 $\rho$ 是一个方便的“权函数”。我们展示了在 $C_{b}(\mathbb{R}^{N})$ 中流的吸收球的存在性，以及在非线性项的附加条件下 $C_{\rho}(\mathbb{R}^{N})$ 中流的全局紧吸引子的存在性。然后我们给出一个连续的 Lyapunov 函数，它在整个相空间上良定义且在 $C_{\rho}(\mathbb{R}^{N})$ 拓扑中连续，从而允许将吸引子刻画为平衡点点集的不稳定集。我们还用一个具体例子说明了我们的结果。