关于多维随机流的 Lyapunov 指数

设 $X_t$ 为 $R^d$ 中由 \begin{equation}\nonumber X_t=x+\sigma b(t)+\int_0^tm(X_s)\dif s, \end{equation} 描述的可逆且正递归扩散过程,其中扩散系数 $\sigma$ 为正定矩阵,漂移 $m$ 为光滑函数。令 $X_t(A)$ 表示紧集 $A\subset R^d$ 在由 $X_t$ 生成的随机流下的像。若漂移的散度严格为负,则存在一族函数 $u$ 使得 $$\lim_{t\to\infty} \int_{X_t(A)}u(x)\dif x=0\quad{a.s.}$$ 给出了函数 $u$ 的刻画,以及指数收敛速率的下界和上界。