广义 Proudman-Johnson 与 $r$-Hunter-Saxton 方程的几何视角

我们证明实直线上的两类方程族——广义无粘 Proudman--Johnson 方程与 $r$-Hunter--Saxton 方程（最近由 Cotter 等人引入）——在某一参数范围内重合。这给出了这些 Proudman--Johnson 方程作为 $\mathbb{R}$ 上适当微分同胚群上右不变齐次 $W^{1,r}$-Finsler 度量的测地方程的新几何解释。推广 Lenells 对 Hunter--Saxton 方程的构造，我们利用从微分同胚群到适当实值函数子集的等距映射来分析 $r$-Hunter--Saxton 方程。由此表明周期情形等价于函数空间中 $L^r$-球上的测地方程，而非周期情形等价于平坦空间上的测地流。这使我们能给出非周期情形下这些方程的显式解，并回答 Cotter 等人关于其极限行为的若干问题。