伴顶点算子代数的一个一般镜像等价定理

我们证明简单共形顶点代数 $A$ 的子代数 $U$ 与其对易子 $V=\mathrm{Com}_A(U)$ 的一个一般镜像对偶定理。具体地，我们假设 $A\cong\bigoplus_{i\in I} U_i\otimes V_i$ 作为 $U\otimes V$-模，其中 $U$-模 $U_i$ 是单的且互异，并是 $U$-模半单辫 ribbon 范畴中的对象，而 $V$-模 $V_i$ 是半单的且包含于一个（未必刚性的）$V$-模辫张量范畴中。我们还假设 $U=\mathrm{Com}_A(V)$。在这些条件下，我们构造一个辫反转张量等价 $\tau: \mathcal{U}_A\rightarrow\mathcal{V}_A$，其中 $\mathcal{U}_A$ 是以单对象 $U_i$（$i\in I$）为对象的 $U$-模半单范畴，$\mathcal{V}_A$ 是以 $V_i$ 的有限直和为对象的 $V$-模范畴。特别地，$V$-模 $V_i$ 是单的且互异，且 $\mathcal{V}_A$ 是刚性张量范畴。作为一个应用，我们找到了中心电荷 $13+6p+6p^{-1}$（$p\in\mathbb{Z}_{\geq 2}$）处 Virasoro 代数的模的一个刚性半单张量子范畴，其与有限维 $\mathfrak{sl}_2$-模范畴的一个阿贝尔 $3$-上循环扭曲辫张量等价。因此，中心电荷 $13+6p+6p^{-1}$ 处的 Virasoro 顶点算子代数是简单共形顶点代数 $\mathcal{W}(-p)$ 的 $PSL_2(\mathbb{C})$-不动点子代数，类似于中心电荷 $13-6p-6p^{-1}$ 处的 Virasoro 顶点算子代数作为三重态代数 $\mathcal{W}(p)$ 的 $PSL_2(\mathbb{C})$-不动点子代数的实现。