精确积分秩-1格的快速概率逐分量构造及其应用
数值分析
2020-12-29 v1 数值分析
摘要
在过去几十年中，针对合适的秩-1格发展出了几种越来越高效的逐分量（CBC）构造方法。一方面，存在基于最小化某些误差泛函的构造。另一方面，也有可能构造相应的求积规则能精确积分多元三角多项式空间内所有元素的秩-1格。在本文中，我们关注第二种方法，即秩-1格规则的精确性。主要贡献是分析了一种已知算法的概率版本，该算法实现了此类秩-1格的CBC构造。结果表明，通过简单的随机化，已知确定性算法的计算量在平均意义上可以得到显著改善。此外，我们针对特定的失败概率对计算成本进行了详细分析，进而促成了概率CBC算法的发展。特别是，所提出的方法对于构造所谓的重构秩-1格将非常有益，这对函数逼近具有实际意义。在对所提出的CBC算法进行严格分析之后，我们提出了一种能以高概率确定具有合理格大小的重构秩-1格的算法。我们提供了关于所得格大小的估计和发生失败概率的界限。此外，我们讨论了所提出算法的计算复杂度。多项数值测试说明了所提出算法的效率。除其他外，我们展示了只要已知所处理的三角多项式空间的特定性质，甚至如何利用我们算法的效率来构造精确积分的秩-1格。
引用
@article{arxiv.2012.14263,
title = {A fast probabilistic component-by-component construction of exactly integrating rank-1 lattices and applications},
author = {Lutz Kämmerer},
journal= {arXiv preprint arXiv:2012.14263},
year = {2020}
}