一类具有二次增长的四变量扩张子

我们证明，若 $g(x,y)$ 是常次 $d$ 的多项式，且 $y_2-y_1$ 不整除 $g(x_1,y_1)-g(x_2,y_2)$，则对任意有限集 $A \subset \mathbb{R}$ 有 $$|X| \gg_d |A|^2, \quad \text{其中} \ X:=\left\{\frac{g(a_1,b_1)-g(a_2,b_2)}{b_2-b_1} :\, a_1,a_2,b_1,b_2 \in A \right\}.$$ 我们将看到该界对某些多项式 $g(x,y)$ 也是紧的。