差集中的二元二次型

我们证明若 $h(x,y)=ax^2+bxy+cy^2\in \mathbb{Z}[x,y]$ 满足 $\Delta(h)=b^2-4ac\neq 0$，则 $\{1,2,\dots,N\}$ 的任何不含 $h$ 像中非零差分的子集，其大小至多为依赖于 $h$ 的常数乘以 $N\exp(-c\sqrt{\log N})$，其中 $c=c(h)>0$。我们通过调整先前用于建立单变量一个或多个多项式之和类似结果的 $L^2$ 密度增量策略实现了这一目标。为使不熟悉这些技术先前实现的读者能易读，我们的论述详尽且自包含，以作为入门导引。