素数域上的四变量扩张子

设 $\mathbb{F}_p$ 为阶 $p>2$ 的素数域，$A$ 为 $\mathbb{F}_p$ 中相对于 $p$ 尺寸非常小的集合。在本短文中，我们证明由 $A\times A$ 中点确定的不同三次距离的数目满足 $$|(A-A)^3+(A-A)^3|\gg |A|^{8/7},$$ 这改进了 Yazici、Murphy、Rudnev 和 Shkredov 的结果。此外，我们研究了四变量和五变量的一些新扩张子族。我们还给出了 Bukh 和 Tsimerman 问题的一个显式指数，即我们证明 $$\max \left\lbrace |A+A|, |f(A, A)|\right\rbrace\gg |A|^{6/5},$$ 其中 $f(x, y)$ 是 $\mathbb{F}_p[x, y]$ 中的二次多项式，且不具有形式 $g(\alpha x+\beta y)$（$g$ 为某一元多项式）。