极值集论、$\mathbb{F}_2^n$ 上的三次型与 Hurwitz 平方恒等式

我们考虑一个 $n$ 元集的子集族 $\mathcal{F}$，使得其中任意两个元素 $F,F'\in\mathcal{F}$ 的对称差的基数不是 4 的倍数。我们证明 $\mathcal{F}$ 的最大规模以 $2n$ 为界，除非 $n\equiv{}3\mod4$，此时其上界为 $2n+2$。我们的方法使用了 $\mathbb{F}_2^n$ 上的三次型和关于平方恒等式的 Hurwitz-Radon 理论。我们还应用该理论获得了关于布尔三次型和所谓加法四元组的一些信息。