布里龙公式的一个退化版本

设 $\mathfrak{p} \subset V$ 为一个多面体且 $\xi \in V_{\mathbb{C}}^*$。我们获得表达式 $I(\mathfrak{p}; \alpha) := \int_{\mathfrak{p}} e^{\langle \alpha, x \rangle} dx$ 作为 $\alpha \in V^*_{\mathbb{C}}$ 中单值函数的和，这些函数以 $\mathfrak{p}$ 的面 $\mathfrak{f}$ 为参数，其中 $\langle \xi, x \rangle$ 在这些面上保持常数。每个术语仅依赖于 $\mathfrak{p}$ 在 $\mathfrak{f}$ 附近的局部几何（以及 $\xi$），且在 $\alpha = \xi$ 时为整洁的。当 $\langle \xi, \cdot \rangle$ 仅在 $\mathfrak{p}$ 的顶点上保持常数时，我们的公式简化为布里龙公式。设 $\mathfrak{p}$ 是相对于格 $\Lambda$ 的有理多面体。我们获得表达式 $S(\mathfrak{p}; \alpha) := \sum_{\lambda \in \mathfrak{p} \cap \Lambda} e^{\langle \alpha, \lambda \rangle}$ 作为单值函数的和，这些函数以 $\mathfrak{p}$ 的面 $\mathfrak{f}$ 为参数，其中在 $\text{lin}(\mathfrak{f}) \cap \Lambda$ 的有限指数子格上 $e^{\langle \xi, x \rangle} = 1$。每个术语仅依赖于 $\mathfrak{p}$ 在 $\mathfrak{f}$ 附近的局部几何（以及 $\xi$ 和 $\Lambda$），且在 $\alpha = \xi$ 时为整洁的。当 $e^{\langle \xi, \cdot \rangle} \neq 1$ 在 $\mathfrak{p}$ 任一边的通过原点的平行线上的非零格点上时，我们的公式简化为布里龙公式，当 $\xi = 0$ 时，简化为埃尔哈特准多项式。我们的公式对于理解 $I(\mathfrak{p}(h); \xi)$ 和 $S(\mathfrak{p}(h); \xi)$ 在具有相同法向束的多面体族 $\mathfrak{p}(h)$ 中的变化非常有用。对于固定多面体的扩张，我们的公式可视为布里龙公式的多面体类比，类似于拉普拉斯方法和平稳相位法。此类表达式自然出现在对称空间和仿射建筑上的分析中。