关于 de Branges-Rovnyak 范数系数公式的论述

设 $\mathcal{H}(b)$ 为非极端点 $b$ 所关联的 de Branges-Rovnyak 空间，其中 $b$ 为单位球 $H^\infty$ 中的一个点。令 $\phi=b/a$，其中 $a$ 为 $b$ 的 Pythagorean 同伴。已知，当 $f$ 为在闭单位盘的邻域中解析函数时，它属于 $\mathcal{H}(b)$，其范数可通过 $f$ 与 $\phi$ 的 Taylor 系数表达式为\n\n$$\|f\|_{\mathcal{H}(b)}^2=\sum_{m\ge0}|\hat{f}(m)|^2 +\sum_{m\ge0}\Bigl|\sum_{n\ge0}\overline{\hat{\phi}(n)}\hat{f}(m+n)\Bigr|^2.$$\n\n然而，该公式对某些其他 $f\in\mathcal{H}(b)$ 可能失效。在本文中，我们将公式的适用范围扩展至所有 $f\in H^2$ 的情形，前提是右侧表达式有限，前提条件是 $\phi\in H^2$ 或 $\phi$ 为有理函数。如果仅 $\phi\in H^p$ 对于某个 $p\in(0,2]$，则该公式仍然成立，前提是 $\sum_{m\ge0}m^{2/p-1}|\hat{f}(m)|^2<\infty$。我们还建立了一个对所有非极端 $b$ 和所有 $f\in\mathcal{H}(b)$ 有效的极限形式公式。