de Branges-Rovnyak 空间与高阶局部 Dirichlet 空间

我们讨论由非极端有理函数 $b$ 生成的 de Branges-Rovnyak 空间 $\mathcal H(b)$ 以及文献 [6] 中引入的 $m$ 阶局部 Dirichlet 空间。在 [6] 中,作者刻画了使得算子 $Y=S|_{\mathcal H(b)}$(即移位算子 $S$ 在 $H^2$ 上到 $\mathcal H(b)$ 的限制)为严格 $2m$-等距的非极端 $b$,并证明了此类空间 $\mathcal H(b)$ 等于 $m$ 阶局部 Dirichlet 空间。本文给出用 $m$ 阶导数对 $m$ 阶局部 Dirichlet 空间的刻画,它是关于局部 Dirichlet 空间已知结果的一个推广。我们还找到了在 $\mathcal H(b)$ 与范数相等的 $m$ 阶局部 Dirichlet 空间重合时 $b$ 的显式公式。最后,我们证明了 $Y$ 的游荡向量的一条性质,类似于 D. Sarason 在 [11] 中得到的 $S$ 在调和加权 Dirichlet 空间上限制的游荡向量的性质。