作为 de Branges-Rovnyak 空间的无限支撑调和加权 Dirichlet 空间

调和加权 Dirichlet 空间 $\mathcal{D}_\mu$ 与 de Branges-Rovnyak 空间 $\mathcal{H}(b)$ 是解析函数论中两个基本结构，展现出丰富且常为互补的性质。这些空间何时重合的问题，由 Sarason 在 1997 年当 $\mu$ 为单个 Dirac 质量时的开创性工作中首次提出并解决，因而在算子理论与解析函数空间中具有根本重要性。本文聚焦于符号为 $b = (1+u)/2$ 的空间 $\mathcal{H}(b)$，其中 $u$ 为单分量内函数。先前的结果将 Sarason 的工作推广到了有限支撑测度 $\mu$，而我们在此考虑的符号则提供了一个超越支撑有限性的自然框架。在我们的设定下，我们给出了使得 $\mathcal{H}(b) = \mathcal{D}_\mu$ 成立的测度 $\mu$ 的完整刻画，从而解决了构造与无限支撑测度 $\mu$ 相关联且同时为 $\mathcal{H}(b)$ 空间的调和加权 Dirichlet 空间 $\mathcal{D}_\mu$ 这一长期悬而未决的问题。作为证明该结果的核心要素，且其本身具有独立意义，我们建立了关于 $L^2(\sigma)$ 上 Cauchy 变换的 $T(1)$ 型结果，其中 $\sigma$ 表示与单分量内函数 $u$ 相关联的 Clark 测度。另一个值得注意的结果是关于单分量内函数的扰动定理，它使我们能够给出一大类满足 $\mathcal{H}(b)=\mathcal{D}_\mu$ 的函数空间。此外，我们在此设定下解决了 Brown--Shields 猜想。