单位双环的 Dirichlet 类型空间与环上完全超扩张算子

我们讨论了最初由 Aleman 在一元函数论中提出的关于单位双环 $\mathbb D^2$ 上的 Dirichlet 类型空间 $\mathcal D(\mu_1,\mu_2)$ 的概念，其 superharmonic 权重与 $\overline{\mathbb D}$ 上有限正 Borel 度量 $\mu_1,\mu_2$ 相关。坐标函数 $z_1$ 和 $z_2$ 的乘法算子 $\mathscr M_{z_1}$ 和 $\mathscr M_{z_2}$ 在 $\mathcal D(\mu_1,\mu_2)$ 上有界，多项式在 $\mathcal D(\mu_1,\mu_2)$ 中稠密。我们证明，乘法对偶 $\mathscr M_z=(\mathscr M_{z_1},\mathscr M_{z_2})$ 是 $\mathcal D(\mu_1,\mu_2)$ 上的循环解析的环上完全超扩张 $2$ 元组。与一元情况不同，并非所有循环解析的环上完全超扩张对偶都可表示为这些空间上的乘法 $2$ 元组 $\mathscr M_z$。特别是，我们建立了一个循环解析的环上完全超扩张算子 $2$ 元组 $T=(T_1,T_2)$ 满足 $I-T^*_1 T_1-T^*_2T_2+T^*_1T^*_2T_1T_2=0$ 且具有循环向量 $f_0$ 的情形，如果且仅当其核 $T^*$ 以 $f_0$ 为基的 wander subspace for $T$，时等价于 $\mathscr{M}_z$ 于 $\mathcal{D}(\mu_1, \mu_2)$ 其中 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ 为 $\overline{\mathbb{D}}$ 上的有限正 Borel 度量。