双圆盘上的 Dirichlet 型空间与环面 $2$-等距

我们引入并研究了单位双圆盘 $\mathbb D^2$ 上的 Dirichlet 型空间 $\mathcal D(\mu_1, \mu_2)$，其中 $\mu_1, \mu_2$ 是单位圆上的有限正 Borel 测度。我们证明坐标函数 $z_1$ 和 $z_2$ 是 $\mathcal D(\mu_1, \mu_2)$ 的乘子，且复多项式在 $\mathcal D(\mu_1, \mu_2)$ 中稠密。进一步，我们获得了除法性质，并解决了以原点为中心的双圆盘上 $\mathcal D(\mu_1, \mu_2)$ 的 Gleason 问题。特别地，我们证明乘法算子 $\mathscr M_{z_1},$ $\mathscr M_{z_2}$ 的交换对 $\mathscr M_z$ 在 $\mathcal D(\mu_1, \mu_2)$ 上定义了一个循环环面 $2$-等距，且对某些 $r >0$，$\mathscr M^*_z$ 属于 Cowen-Douglas 类 ${\bf B}_1(\mathbb D^2_r)$。此外，我们为交换元组表述了游荡子空间的概念，并用它得到了循环解析 $2$-等距的 Richter 表示定理的双圆盘类比。特别地，我们证明具有循环向量 $f_0$ 的循环解析环面 $2$-等距对 $T$ 酉等价于 $\mathcal D(\mu_1, \mu_2)$ 上的 $\mathscr M_z$，当且仅当由 $f_0$ 张成的 $\ker T^*$ 是 $T$ 的游荡子空间。