作为布朗运动及其最大值之函数的局部鞅的完全刻画

我们证明了近期与 Marc Yor 合著文章中所给出的极大鞅猜想。我们证明，对于连续局部鞅 $(N_t:t\ge 0)$ 和函数 $H:R \times R_+\to R$，$H(N_t,\sup_{s\leq t}N_s)$ 是局部鞅当且仅当存在局部可积函数 $f$ 使得 $H(x,y)=\int_0^y f(s)ds-f(y)(x-y)+H(0,0)$。通过 Levy 等价定理，这立即推出一个将最大值过程替换为在 0 处的局部时的类似结果。