统一 Dynkin 公式与 Lebesgue-Stieltjes 公式

我们在对 $f$ 施加某些限制的条件下，建立了一个与 $f(X,Y)$ 相关联的局部鞅 $M$，其中 $Y$ 是（在紧区间上）有界变差过程，且 $X$ 要么是跳跃扩散过程（L\'evy 过程是其特例），要么是某种一般的（取值于 c\'adl\'ag 度量空间的）Markov 过程。在后一种情形下，$f$ 被限制为 $f(x,y)=\sum_{k=1}^K\xi_k(x)\eta_k(y)$ 的形式。该局部鞅统一了 Markov 过程的 Dynkin 公式以及有界变差（右连续）函数的 Lebesgue-Stieltjes 积分（换元）公式。对于跳跃扩散情形，若进一步假设相对容易验证的条件，则该局部鞅成为 $L^2$ 鞅。文中还讨论了该鞅与某个确定性时间函数的乘积在 $L^2$ 中和几乎处处收敛于零的问题，并确定了使此收敛成立的函数的充分条件。