一种基于块 $\alpha$-循环的绝对预处理 MINRES 方法用于波动方程

在这项工作中，我们提出一种绝对值块 $\alpha$-循环预条件子用于极小残差(MINRES)方法，以求解由波动方程离散化产生的全同时系统。受 [E. McDonald, J. Pestana, and A. Wathen. SIAM J. Sci. Comput., 40(2):A1012-A1033, 2018] 中提出的绝对值块循环预条件子启发，我们提出了块 $\alpha$-循环预条件子的绝对值版本。由于原块 $\alpha$-循环预条件子一般为非 Hermitian 的，不能直接用作 MINRES 的预条件子。我们提出的预条件子是首个针对所关注波动方程的块 $\alpha$-循环预条件子的 Hermitian 正定变体，填补了块 $\alpha$-循环预处理与预处理 MINRES 求解器领域之间的空白。该预条件子的矩阵-向量乘法可通过快速傅里叶变换快速实现。理论上，我们证明对于适当选取的 $\alpha$，采用所提预条件子的 MINRES 求解器达到与矩阵规模无关的线性收敛速率。据我们所知，这是首次在理论与性能两方面推广原绝对值块循环预条件子至所关注问题的尝试。数值实验给出了以支持我们预条件子的有效性，表明可达到预期的最优收敛。