A_6 不变曲线的亏格 10 与 19

我们研究交错群 $\mathfrak{A}_{6}$ 忠实地作用的平滑曲线。令 $\mathcal{V} \subset PGL(3, \mathbb{C})$ 为同构于 $\mathfrak{A}_{6}$ 的 Valentiner 群。我们看到存在次数为 $12$ 的整 $\mathcal{V}$-不变曲线，其几何亏格为 $10$ 和 $19$。另一方面，若 $\mathfrak{A}_{6}$ 忠实地作用于亏格为 $10$ 或 $19$ 的曲线 $C$ 上，则对任意二十面体子群 $\mathfrak{A}_{5}$，我们给出扩张 $k(C / \mathfrak{A}_{5}) \rightarrow k(C / \mathfrak{A}_{6})$ 的显式描述。利用此结果，我们证明了自同构群包含 $\mathfrak{A}_{6}$ 的亏格 10 与 19 平滑射影曲线的唯一性。