二进制幂的华林定理

若自然数的二进制表示由 $k$ 个连续相同块组成，则称其为二进制 $k$ 次幂。我们证明了关于二进制 $k$ 次幂之和的华林定理类比。更确切地说，我们证明对每个整数 $k \geq 2$，存在正整数 $W(k)$，使得每个足够大的 $E_k := \gcd(2^k - 1, k)$ 的倍数均可表示为至多 $W(k)$ 个二进制 $k$ 次幂之和。(倍数这一条件不可省略，因为我们证明了二进制 $k$ 次幂的最大公约数为 $E_k$。)此外，我们说明了如何将结果推广至任意整数基 $b > 2$。