混沌倍周期

倍周期重整化算子由 M. Feigenbaum 以及 P. Coullet 和 C. Tresser 于二十世纪七十年代引入，用于研究从简单动力学向混沌动力学过渡的一维系统吸引子的渐近小尺度几何结构。在相当温和的光滑性条件下，该几何结构被证明不依赖于映射的选择。在一般足够光滑的映射中，存在唯一的重整化不动点且该点是双曲的，这在相应的重整化理论中起着至关重要的作用。重整化不动点的唯一性和双曲性首先在复解析背景下得到证明，所用方法可推广至其他重整化算子。随后证明，在 $C^{2+\alpha}$ 单峰映射空间中，对于接近 1 的 $\alpha$，倍周期重整化不动点也是双曲的。在本文中，我们研究了当从下方逼近倍周期重整化一般不动点的唯一性和双曲性的最小光滑性阈值时会发生什么。事实上，我们的主要结果表明，在 $C^2$ 单峰映射空间中，解析不动点不是双曲的，并且即使增加足够的光滑性以获得先验界，这一结论仍然成立。在这个称为 $C^{2+|\cdot|}$ 的更光滑类中，双曲性的失效比在 $C^2$ 中更为温和。当光滑性略低于 $C^2$ 时，情况变得更糟，因为此时甚至唯一性也丧失，其他渐近行为成为可能。我们证明了作用于 $C^{1+Lip}$ 单峰映射空间的倍周期重整化算子具有无限拓扑熵。