齐次马尔可夫链的Zipf定律与非Zipf定律

考虑一个具有离散时间和有限状态集$E_0,\ldots,E_n$的齐次马尔可夫链，其中状态$E_0$是吸收态，状态$E_1,\ldots,E_n$是非循环态。本文旨在研究该链中轨迹的频率，即由符号$E_1,\ldots,E_n$组成并以“空格”$E_0$结尾的“单词”。我们根据概率对单词进行排序；用$p(t)$表示列表中第$t$个单词的概率。本文证明，在典型情况下，函数$p(t)$的渐近行为具有幂律特征，并从转移概率矩阵中定义其指数。如果该矩阵是分块对角矩阵，则在某些特定的转移概率值下，幂律渐近会附加（对数）项。但如果该矩阵相当稀疏，则概率快速下降；即渐近速率大于幂律速率，但不大于指数速率。我们还建立了指数衰减阶的充分必要条件，并得到了从转移概率矩阵和初始分布向量确定指数的公式。