局部紧群半直积的Zak变换

设 $H$ 为局部紧群，$K$ 为LCA群，又设 $\tau:H\to Aut(K)$ 为连续同态，$G_\tau=H\ltimes_\tau K$ 为 $H$ 和 $K$ 关于 $\tau$ 的半直积。本文我们在 $L^2(G_\tau)$ 上关于 $K$ 的 $\tau$-不变均匀格点 $L$ 定义了Zak变换 $\mathcal{Z}_L$，并证明了该Zak变换满足Plancherel公式。作为应用，我们展示了这些技术如何应用于半直积群 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})\ltimes_\tau\mathbb{R}^2$ 以及Weyl-Heisenberg群。