$Z_{DP}(n)$ 的上界为 $n^2-(n+3)/2$

DP-染色由 Dvořák 和 Postle 引入，是正常染色的一种推广。对于任意图 $G$，令 $\chi(G)$ 和 $\chi_{DP}(G)$ 分别表示 $G$ 的色数和 DP-色数。本文证明了当 $s=\left \lceil \frac{4(k+1)m}{2k+1} \right \rceil \le \lceil 2.4m\rceil$ 时，$\chi_{DP}(G \vee K_s)=\chi(G \vee K_s)$ 成立，其中 $k=\chi(G)$，$m=|E(G)|$，$G \vee K_s$ 为 $G$ 与完全图 $K_s$ 的联图。因此对于每个整数 $n \ge 2$，有 $Z_{DP}(n)\le n^2-(n+3)/2$ 成立，其中 $Z_{DP}(n)$ 是使得对所有阶为 $n$ 的图 $G$ 均有 $\chi_{DP}(G \vee K_s)=\chi(G \vee K_s)$ 成立的最小自然数 $s$。我们的结果改进了 Bernshteyn、Kostochka 和 Zhu 所得的最佳当前上界 $Z_{DP}(n)\le 1.5n^2$。