Littlewood reciprocity的环形推广

给定任意一个m维复表示$\eta$关于有限群$G$的任意最高权重表示$V^{\lambda}$的$\mathrm{GL}_{nm}(\mathbb{C})$，我们可以使用embedding$\mathrm{GL}_{m}(\mathbb{C})^n \rtimes \mathfrak{S}_n \leq \mathrm{GL}_{nm}(\mathbb{C})$和$\eta: G \rightarrow \mathrm{GL}_m(\mathbb{C})$在$V^{\lambda}$上定义$\mathrm{GL}_{m}(\mathbb{C})^n \rtimes \mathfrak{S}_n$的作用。我们推导了$\mathrm{GL}_{nm}(\mathbb{C})$中不可约$\mathrm{GL}_{m}(\mathbb{C})^n \rtimes \mathfrak{S}_n$表示在$V^{\lambda}$中的multiplicity的分支规则。该公式推广了Littlewood关于$\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$和置换矩阵阵$\mathfrak{S}_n \leq \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$之间的分支的reciprocity rule。