具有一般适配度量的层上的 Witten 扰动

设 $M$ 为紧分层空间 $A$ 的一个层。它配备有一个一般适配度量 $g$，该度量比 Nagase 和 Brasselet-Hector-Saralegi 的适配度量稍更一般。特别地，$g$ 具有一个一般类型，它是适配度量类型的一个推广。假定对此一般类型有一个限制，则称 $g$ 为好的。我们考虑在 $M$ 上紧支撑 de~Rham 复形的最大/最小理想边界条件 $d_{\text{\rm max/min}}$，在 Br\"uning-Lesch 的意义下。令 $H^*_{\text{\rm max/min}}(M)$ 和 $\Delta_{\text{\rm max/min}}$ 表示 $d_{\text{\rm max/min}}$ 的上同调与拉普拉斯算子。第一个主要定理陈述 $\Delta_{\text{\rm max/min}}$ 具有满足 Weyl 渐近公式弱形式的离散谱。第二个主要定理是一个使用 $H_{\text{\rm max/min}}^*(M)$ 和所谓的 rel-Morse 函数的 Morse 不等式版本。两个定理证明的一个要素是 $d_{\text{\rm max/min}}$ 的 de~Rham 复形 Witten 扰动的一个版本。另一个要素是作者先前利用经典微扰理论研究的 Dunkl 谐振子的某个扰动。假设 $A$ 是一个分层伪流形，并考虑其具有周密度 $\bar p$ 的交同调 $I^{\bar p}H_*(A)$；特别地，下和中上周密度分别记为 $\bar m$ 和 $\bar n$。那么，对于任意 $\bar p\le\bar m$，在 $M$ 上存在一个关联的好适配度量，满足 Nagase 同构 $H^r_{\text{\rm max}}(M)\cong I^{\bar p}H_r(A)^*$ ($r\in\N$)。如果 $M$ 是定向的且 $\bar p\ge\bar n$，我们也得到 $H^r_{\text{\rm min}}(M)\cong I^{\bar p}H_r(A)$。因此我们的 Morse 不等式版本可以用 $I^{\bar p}H_*(A)$ 来描述。