凸哈密顿系统轨道段附近的正规形

在余切丛上哈密顿系统的研究中，通过添加势（仅依赖于底点函数）来扰动哈密顿量是自然的。这导致了 Mañé 泛型性的定义：给定哈密顿量 H，若使 H + u 满足某性质的势 u 的集合是剩余的，则该性质是通有的。此概念主要用于对 p 凸的哈密顿量，即在每点处 ∂²_{pp} H 正定的意义下。我们也将研究限制于此情形。哈密顿量被小加性势扰动与被接近于 1 的正因子扰动之间有密切关系。事实上，哈密顿量 H + u 与 H/(1−u) 有相同的一能级面，故它们在该能级面上的动力学互为重新参数化，此即莫佩尔蒂原理。当 H 在纤维上齐次（对应芬斯勒度量）甚至逐纤维二次（对应黎曼度量）时，此注记尤为相关。这些情况下，哈密顿量被势扰动对应于（除参数化外）度量的共形扰动。广泛研究的方面之一是理解通过添加小势能在多大程度上可扰动与周期轨道相关的返回映射。此类问题强烈依赖于其所处背景。一些最受研究的背景按难度递增为：一般向量场的扰动、哈密顿系统类内哈密顿系统的扰动、黎曼度量类内黎曼度量的扰动、凸哈密顿量的 Mañé 扰动。例如熟知每个向量场可扰动为仅有双曲周期轨道的向量场，此属 Kupka-Smale 定理，见 [5, 13]。在哈密顿向量场背景下无此结果，但每个哈密顿量可扰动为仅有非退化周期轨道（含迭代轨道）的哈密顿量仍成立，见 [11, 12]。在黎曼度量背景下同样成立：每个黎曼度量可扰动为仅有非退化闭测地线的黎曼度量，此即颠簸度量定理，见 [4, 2, 1]。该问题在凸哈密顿量的 Mañé 扰动背景下直至近年才被研究，见 [9, 10]。文献 [10] 证明同样结果成立：若 H 为凸哈密顿量且 a 为 H 的正则值，则存在任意小势 u 使得 H + u 在能量 a 处的所有周期轨道（含迭代轨道）均非退化。[10] 所给证明实则与黎曼度量扰动论文中的证明颇相似。在所有这些证明中，非常有用的是研究