一般实解析近可积哈密顿系统的整体性质

我们在 $\mathbb{T}^n$ 上引入一类新的一般实解析势 $\mathbb{G}^n_s$，并研究自然近可积哈密顿量 $\frac12 |y|^2+\varepsilon f(x)$（势 $f\in \mathbb{G}^n_s$）在相空间 $\varepsilon = B \times \mathbb{T}^n$（$B$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中给定球）上的整体解析性质。相空间 $\mathcal{M}$ 可被三个集合覆盖：一个“非共振”集，其被原发性极大 KAM 环面填充至测度为 $e^{-c K}$ 的指数小集合（其中 $K$ 为所考虑共振的最大尺寸）；一个测度为 $\sqrt{\varepsilon} K^a$ 的“单共振集”；以及第三个测度为 $\varepsilon K^b$ 的“非微扰”集，意指其上的 $H$-动力学可由一个自然且{\sl 并非}近可积的系统描述。我们随后聚焦于单共振集——其动力学尤为有趣（例如对 Arnol'd 扩散或次级环面存在性而言）——并证明在此类集合上， secular（平均）1 自由度哈密顿量（由共振指标 $k\in\mathbb{Z}^n$ 标记）可被化为一种普适形式（我们称之为“一般标准形”），其主要解析性质仅由{\sl 一个参数}控制，且该参数对共振标记 $k$ 是一致均匀的。