磁瓶哈密顿量中的共振正规形与渐近正规形行为

我们考虑形式为 $H=\frac{1}{2}(\rho^2_\rho+\omega^2_1\rho^2) +\frac{1}{2}p^2_z+hot$ 的“磁瓶”型哈密顿量中的正规形（最低阶下第二频率 $\omega_2$ 等于零）。我们的主要结果是：i) 提出了一种在共振情况下构建正规形的新方法，以及 ii) 研究了非共振级数和共振级数的渐近行为。我们发现，如果将正规形级数截断至 $r$ 阶，两种构建方法中的级数余项均随 $r$ 的增加而减小至最小值，随后随 $r$ 增加而增大。计算得出的最小余项在 $\frac{1}{\Delta E}$ 中呈指数级小，其中 $\Delta E$ 为镜向振荡能量，而最优阶数则按 $\Delta E$ 的逆幂次缩放。我们对与最优阶数及余项指数渐近行为相关的指数进行了数值估计。在共振情况下，我们的新方法允许计算一个“准积分”（即截断的形式积分），该积分既适用于每个特定共振，也适用于远离所有共振的情况。我们将这些结果应用于一个特定的磁瓶哈密顿量。非共振正规形在庞加莱截面上产生了理论不变曲线，这些曲线在远离共振处与经验曲线吻合良好。另一方面，共振正规形不仅很好地拟合了特定共振岛内的不变曲线，也很好地拟合了非共振不变曲线。最后，我们讨论了正规形如何用于计算磁瓶中全局混沌发生的临界阈值。