通过增强辛范畴实现双群量子化

本文考虑增强辛“范畴”以用于量子化拟哈密顿 $G$-空间，其中 $G$ 为紧单李群。我们的出发点是哈密顿几何中余切丛 $T^*G$ 与拟哈密顿几何中内部融合双群 $D(G)=G\times G$ 之间被广泛认可的类比。Guillemin 与 Sternberg 考察前者，研究其所谓特征 Lagrangian $\Lambda_{\mathcal{O}}\subseteq T^*G$ 上的半密度与相函数。我们的拟哈密顿对应项将这些特征 Lagrangian 替换为正则、$\frac{1}{k}$-整共轭类 $\mathcal{C}\subseteq G$ 的泛中心化子 $\Lambda_{\mathcal{C}}\longrightarrow\mathcal{C}$。我们证明每个泛中心化子都是 $D(G)$ 中的“拟哈密顿 Lagrangian”，并配备半密度与相函数。同时，我们考虑由 Dehn 扭转诱导的自同构 $R:D(G)\longrightarrow D(G)$，其缺乏自然的哈密顿类比。每个拟哈密顿 Lagrangian $R(\Lambda_{\mathcal{C}})$ 被证明与每个 $\Lambda_{\mathcal{C}'}$ 有干净交，并自带半密度与相函数。这引导我们考虑在 $R(\Lambda_{\mathcal{C}})$ 与 $\Lambda_{\mathcal{C}'}$ 之间建立行为良好的拟哈密顿意义下 BKS 配对的可能性。我们构造了这样一种配对并研究其性质。这得益于 $R(\Lambda_{\mathcal{C}})\cap\Lambda_{\mathcal{C}'}$ 的良好几何特征以及对经典 BKS 配对的重新表述。我们的工作或许是通过增强辛“范畴”实现 $D(G)$ 的 level-$k$ 量子化的第一步。