齐次 Hodge-de Rham 理论及椭圆边值问题的几何正则化

我们引入了经典 Weyl 可积几何的齐次推广，通过将常规线性规范性变换推广为以某特定调和、尺度不变形式 $\alpha_d$ 为中心的仿射齐次变换。随后通过合适的变量平移来重新线性化这些仿射规范性变换，我们获得了与 Witten 对称 de Rham 复形结构等价的扭曲外微积分。基于此，我们发展出相应的齐次 Hodge 理论：定义了扭曲伴随算子和齐次 Laplacian，并在紧黏 Riemann 流形上证明了齐次 Hodge 分解定理。在偏微分方程语境下，我们展示标量齐次 Laplacian 提供了椭圆边值问题的严格扩散界面（体积惩罚）表示。将 Weyl 尺度场建模为固定分布，局部于超曲面，其 resulting lower order几何项形成惩罚层，以在单一几何方程中强制 Dirichlet、Neumann 或 Cauchy 边界条件。该表述即使在经典上不相容的 Cauchy 数据下也能得到一致的弱解。作为应用，我们构建了一个椭圆场方程的点源非奇异模型，保留正确的库仑远场，同时消除核心奇异性并获得有限场能。