分数导数的 Wiman-Valiron 方法及线性分数微分方程 $\alpha$-解析解的尖锐增长估计

我们考虑一个分数线性微分方程，successive derivatives 由 $\mathbb{D}_\alpha^{n}y+ p_{n-1}(x) \mathbb{D}_\alpha^{n-1}y+ \dots +p_{1}(x)\mathbb{D}_\alpha y+p_0(x)y=0$ 给出，其中 $\mathbb{D}_\alpha^{j}$ 是阶数为 $\alpha>0$ 的 Caputo-Djrbashian 分数导数的第 $j$ 次迭代，$p_j$ 为 $0<x^\alpha <R$ 范围内的 $\alpha$-解析函数。我们推广了 Kilbas、Rivero Rodr\'iguez-Germ\'a 和 Trujillo 的结果，证明了相应 Cauchy problem 在 $\alpha$-解析函数类中的存在唯一性。我们给出当 $p_j(x)=P_j(x^\alpha)$ 且 $p_0$ 在某种意义上占主导地位时，解的 exact growth order。这是经典常微分方程情形的完整对应。在 particular，我们展示了 Kochubei 结果的尖锐性并对其进行推广。为此，我们将 Wiman-Valiron 理论扩展到解析函数以及 Djrbashian-Gelfond-Leontiev 广义分数导数。