大 $N$ 下的 $\widehat{Z}$：从曲线计数到量子模性

将 6 维五brane 理论约化到 3 流形 $Y$ 上给出一个 $q$-级数 3 流形不变量 $\widehat{Z}(Y)$。我们分析 $F_K=\widehat{Z}(M_K)$ 的大-$N$ 行为，其中 $M_K$ 是 3 球中纽结 $K$ 的补空间，并探讨 $F_{K}$ 的 $a$-形变（$a=q^N$）版本与 HOMFLY-PT 多项式之间的关系。一方面，结合纽结补空间上全纯环面的计数，这给出了 $F_K$ 用开全纯曲线计数的枚举解释。另一方面，它导出 $(2,2p+1)$-环面纽结的 $a$-形变 $F_K$ 的闭式表达式。它们暗示了基于超多项式的进一步 $t$-形变，可用于获得 ADO 多项式的 $t$-形变，预期与范畴化相关。此外，研究 $F_K$ 在 $K$ 的自然几何操作下如何变换，指示了量子模性在新背景下的关联。