半伽罗瓦范畴 III：由模函数形变得到的维特向量

基于我们此前关于 Christol 定理的算术类比的工作，本文更详细地研究数域 $K$ 的代数维特向量 lambda-环 $E_K = K \otimes W_{O_K}^a (O_{\bar{K}})$ 的结构。首先发展关于 $E_K$ 的一般结果，我们将其应用于 $K$ 为虚二次域的情形。主要结果包括代数维特向量的“模性定理”，其断言某些有限级模函数的形变族 $f: M_2(\widehat{\mathbb{Z}}) \times \mathfrak{H} \rightarrow \mathbb{C}$ 总由其特殊值定义代数维特向量 $\widehat{f}$，反之，每个代数维特向量 $\xi \in E_K$ 都以这种方式实现，即对某些形变族 $f: M_2(\widehat{\mathbb{Z}}) \times \mathfrak{H} \rightarrow \mathbb{C}$ 有 $\xi = \widehat{f}$。这给出了虚二次域 $K$ 的 lambda-环 $E_K$ 的相当显式描述，表述为 lambda-环 $E_K$ 与模向量 $\widehat{f}$ 的 $K$-代数 $M_K$ 之间的恒等式 $E_K=M_K$。