高阶秩的 $\hat{Z}$ 与 $F_K$

我们研究依赖于根系 $G$ 选择的 3-流形上的 $q$-级数不变量。这是 Gukov-Pei-Putrov-Vafa [arXiv:1701.06567] 与 Gukov-Manolescu [arXiv:1904.06057] 早期工作的自然推广，他们聚焦于 $G={\rm SU}(2)$ 情形。尽管这些“不变量”尚缺乏完整的数学定义，我们为负定 plumbing 3-流形定义了 $\hat{Z}^G$，并为环面结补空间定义了 $F_K^G$。如同 Gukov 与 Manolescu 的 $G={\rm SU}(2)$ 情形，存在一个手术公式将 $F_K^G$ 与结 $K$ 上 Dehn 手术的 $\hat{Z}^G$ 联系起来。进一步，专化到对称表示时，$F_K^G$ 满足由对称表示的量子 $A$-多项式给出的递推关系，这暗示这些 3-流形不变量可能存在 HOMFLY-PT 类比。