$\hat{Z}$-TQFT、手术公式与新代数

由Gukov-Pei-Putrov-Vafa引入的三流形$\hat{Z}$不变量影响了许多数学和物理领域。然而,它们的TQFT结构仍然知之甚少。在这项工作中,我们发展了一个装饰$\mathrm{Spin}$-TQFT的框架,并基于Atiyah-Segal-like公理构建了一个计算$\hat{Z}$不变量的框架。我们方法的核心是对$SL(2,\mathbb{C})$ Chern-Simons理论的新量子化,以及环面上可观测代数的一个$\mathbb{Q}$-扩展,从中我们获得了$\hat{Z}$-TQFT的环面态空间。利用环面态空间和拓扑不变性,我们唯一确定了负定plumbed流形的$\hat{Z}$不变量。在这个TQFT框架内,我们建立了粘合、有理手术、部分手术、卫星和缠绕公式,以及Seifert流形和环面链环补集的显式闭式表达式。我们还将这些构造推广到更高秩的规范群。