关于特征簇、离散特征集与非零度映射

在本文中我们使用特征簇方法研究 3-流形基本群之间的同态,特别是由非零度映射诱导的同态。一个{\it 纽结流形}是一个紧的、连通的、不可约的、可定向的 3-流形,其边界为一个不可压缩环面。一个{\it 虚拟满同态}是一个像在其值域中指数为有限的同态。我们证明此类同态的存在对价纽结流形的 $PSL_2(\mathbb C)$-特征簇的代数分解施加了约束,并由此确定了以固定定义域为起点的小纽结流形基本群之间虚拟满同态个数的先验界。在论文的第二部分我们固定一个小纽结流形 $M$ 并研究在 $PSL_2(\mathbb C)$ 中具有离散像的表示的各种特征集。这些集合的拓扑与 $M$ 的 $PSL_2(\mathbb C)$-特征簇的代数结构以及由 $M$ 及其 Dehn 填充对流形的支配密切相关。特别地,我们将结果应用于研究非零度映射族 $f_n: M(\alpha_n) \to V_n$,其中 $M(\alpha_n)$ 是 $M$ 的 $\alpha_n$-Dehn 填充而 $V_n$ 是双曲流形或 $\widetilde{SL_2}$ 流形。我们证明很多时候,在取子列之后,存在一个纽结流形 $V$、$\partial V$ 上的斜率 $\beta_j$ 使得 $V_j \cong V(\beta_j)$,以及一个诱导 $f_j$ 直至同伦的非零度映射 $M \to V$。论文第一部分的成果随后被应用于构造无穷族小的、闭的、连通的、可定向的 3-流形,它们除同胚外不接受任何到双曲流形、甚至具有无穷基本群的流形的非零度映射。