仿射簇的自同构群何时是线性的

设 $Aut_{alg}(X)$ 为仿射代数簇 $X$ 的正则自同构群 $Aut(X)$ 中由所有连通代数子群生成的子群。我们证明：若 $dim X \ge 2$ 且 $Aut_{alg}(X)$ 足够丰富，则 $Aut_{alg}(X)$ 不是线性的，即它不能被嵌入到 $GL_n(K)$ 中，其中 $K$ 是特征为零的代数闭域。此外，仅当 $Aut(X)$ 的连通分支或是代数环面或是交换幂零群的直接极限时，$Aut(X)$ 作为抽象群同构于一个代数群。最后，我们证明：对于不可数域 $K$，若 $X$ 被赋予一个正维数线性代数群的有理作用，则 $X$ 的双有理变换群不可能同构于一个仿射簇的自同构群。