当 Grünbaum 遇上 Poncelet —— 可动 n_4 配置的无限类
组合数学
2024-08-20 v1 度量几何
摘要
我们研究了 (n_4) 关联配置与经典 Poncelet 圆规定之间的关系。Poncelet 圆规定研究两个椭圆及其一系列点和直线，这些点和直线将一个椭圆内切而将另一个椭圆外切。Poncelet 圆规定指出，这一序列是否在 m 步骤后收紧仅取决于椭圆以及而不取决于序列的初始点。换言之：Poncelet 多边形是可动的。我们将这种运动转化为关于大类 (n_4) 配置的灵活性陈述，这些配置中每个点都有 4 条直线通过，而每条直线上又有 4 个点。该文中提出的 (n_4) 配置的一个实例由 Grünbaum 和 Rigby 在其经典 1990 年论文中给出，其中他们构造了已知组合 (21_4) 配置的第一个真实几何实现 (该配置曾由 Felix Klein 研究），现被称为 Grünbaum-Rigby 配置。此后，人们一直在寻找可动 (n_4) 配置，但令人惊讶的是，Grünbaum-Rigby (21_4) 配置竟然存在非平凡运动。众所周知，Grünbaum-Rigby 配置是平凤天体配置中最小的实例。本文的主要结果是，我们证明所有平凤天体配置都通过 Poncelet 圆规定和关于 Poncelet 网格的性质而是可动的。此外，还给出了通过 billiards 几何、内切网和五棱图等方法的替代方法，这些方法将该主题与离散可积系统相关联。
引用
@article{arxiv.2408.09203,
title = {When Gr\"unbaum meets Poncelet -- Infinite Classes of Movable $n_4$ Configurations},
author = {Leah Wrenn Berman and Gábor Gévay and Jürgen Richter-Gebert and Serge Tabachnikov},
journal= {arXiv preprint arXiv:2408.09203},
year = {2024}
}
备注
56 pages, 34 figures