赋范空间中的新月形构型

我们研究由Erdős于1989年提出的新月形构型问题。新月形构型是平面上的$n$个点集，满足：1）无三点共线，2）无四点共圆，3）对每个$1 \leq i \leq n - 1$，存在一个恰好出现$i$次的距离。Liu、Palásti和Pomerance已给出大小$n \leq 8$的构造。Erdős猜想存在某个$N$，使得对所有$n \geq N$不存在大小为$n$的新月形构型。我们将新月形构型问题推广到一般赋范空间$(\mathbb{R}^2, \| \cdot \|)$，通过研究$\| \cdot \|$中的强新月形构型。在任意范数$\|\cdot \|$下，我们构造了大小为4的强新月形构型。我们还在欧几里得范数、出租车范数和切比雪夫范数下分别构造了大小为$n \leq 6$、$n \leq 8$和$n \leq 8$的更大强新月形构型。在定义强新月形构型时，我们引入了$\|\cdot \|$中线状构型的概念。$\|\cdot \|$中的线状构型是一点集，其距离图同构于直线上等距点的距离图。在一大类范数中，我们构造了任意大小的线状构型。我们的主要结果是一个关于切比雪夫范数中线状构型的新月型结果。线状新月构型是一种线状构型，其中无三点共线且无四点共$\|\cdot \|$圆。我们证明对$n \geq 7$，切比雪夫范数中大小为$n$的每一线状新月构型必具有刚性结构。具体而言，它必为水平或垂直线上等距点的垂直扰动。