月牙形构型

1989年，Erdős猜想，对于足够大的$n$，不可能在平面上放置$n$个处于一般位置的点，使得对于每个$1\le i \le n-1$，都存在恰好出现$i$次的距离。对于小的$n$这是可能的，并在他的论文中给出了$n\leq 8$的构造。其中$n=5$的构造归功于Pomerance，而Palásti提出了$n=7,8$的构造。$n=9$及以上的构造仍未发现，且对于足够大的$n$不存在此种构型的证明进展甚微。本文考虑向高维的自然推广，并给出一个构造，表明对于任意给定的$n$，存在足够大的维数$d$，使得在$d$维空间中存在满足Erdős准则的构型。