关于 Erdős 局部稀疏 Steiner 三元系猜想

Kirkman 的一个著名定理指出：当且仅当 $n\equiv 1,3\mod{6}$ 时，存在阶为 $n$ 的 Steiner 三元系。1973 年，Erd\H{o}s 猜想可以找到所谓的“稀疏”Steiner 三元系。粗略地说，其目标是在每 $j$ 个点组成的集合上至多含 $j-3$ 个三元组，这将是最好可能的。（具有此稀疏性质的三元系亦被称为具有高围长。）我们通过分析三角形移除过程的一个自然推广，渐近地证明了该猜想。我们的结果还以强形式解决了 Lefmann、Phelps 和 R\"odl 以及 Ellis 和 Linial 提出的一个问题，并回答了 Krivelevich、Kwan、Loh 和 Sudakov 的一个疑问。此外，我们提出一个猜想，将 Erd\H{o}s 猜想推广到具有任意参数的 Steiner 系，并为此提供一些证据。