大围长近似 Steiner 三元系

1973 年 Erdos 提问：是否存在具有任意大围长且含二次多三元组的 n 顶点部分 Steiner 三元系。（此处围长定义为最小整数 g \ge 4，使得某 g 元顶点集包含至少 g-2 个三元组。）我们回答了该问题，证明了具有任意大围长的近似 Steiner 三元系的存在性。更具体地，对任意固定 \ell \ge 4，我们证明一个自然的约束随机过程典型地产生一个具有 $(1/6-o(1))n^2$ 个三元组且围长大于 \ell 的部分 Steiner 三元系。该过程在保持围长大于 \ell 的约束下迭代添加随机三元组。我们的结果除 $o(1)$ 项（其为 n 的负幂）外是最佳可能的。