随机指数何时为真鞅：Beneš 方法的推广

设 $\mathfrak{z}$ 为局部鞅 $M$ 的随机指数，即 $\mathfrak{z}_t=1+\int_0^t\mathfrak{z}_{s-}dM_s$，其中跳跃满足 $\triangle M_t>-1$。则 $\mathfrak{z}$ 是一个非负局部鞅，且满足 $\E\mathfrak{z}_t\le 1$。若 $\E\mathfrak{z}_T= 1$，则 $\mathfrak{z}$ 在时间区间 $[0,T]$ 上是鞅。鞅性质在许多应用中起着重要作用。因此，给出鞅性质的自然且易于验证的条件具有重要意义。本文利用 Girsanov 提出的、涉及 $M$ 参数定义的所谓线性增长条件，验证了性质 $\E\mathfrak{z}_{_T}=1$。这些条件推广了 Beneš 的思想，并避免了分段逼近技术。即使 Novikov 条件和 Kazamaki 条件失效，这些条件依然适用。它们对发散的马尔可夫过程、具有跳跃的马尔可夫过程以及非马尔可夫过程均有效。我们的方法与近期发表的论文不同。