不连续指数鞅的Beneš条件

已知由布朗运动$B_t$和满足$\int_0^t\alpha^2(\omega,s)ds<\infty$（几乎必然）的随机过程$\alpha(\omega,t)$生成的Doleans-Dade方程$\mathfrak{z_t}=1+\int_0^t\alpha(\omega,s)dB_s$的解Girsanov指数$\mathfrak{z}_t$是鞅，前提是Beneš条件$$|\alpha(\omega,t)|^2\le \text{\rm const.}\big[1+\sup_{s\in[0,t]}B^2_s\big], \forall t>0,$$成立。本文中，我们证明$B_t$可以被一个具有独立增量、路径来自Skorokhod空间$\mathbb{D}_{[0,\infty)}$、具有正跳跃$\triangle M_t$且满足$\E\sum_{s\in[0,t]}(\triangle M_s)^3<\infty$的齐次纯不连续平方可积鞅$M_t$所替代。函数$\alpha(\omega,t)$被假定为非负且可预测的。在此设定下，$\mathfrak{z}_t$是鞅，前提是$$\alpha^2(\omega,t)\le \text{\rm const.}\big[1+\sup_{s\in[0,t]}M^2_{s-}\big], \ \forall t>0.$$证明方法不同于原始的Beneš方法，并且对于$B_t$和$M_t$两种设定均适用。