关于 $\overline{\partial}$ 算子指数小奇异值的 Weyl 定律

我们研究了二维环面上指数加权 $L^2$ 空间中 $\overline{\partial}$ 算子的指数小奇异值的数量。通过辅助的 upper 和 lower bound weights notion，我们建立了 accurate upper 和 lower bounds。假设指数权重的 Laplacian 在一条曲线上改变符号，我们通过求解 free boundary problem 来构建 optimal 权重，这yield 了区间 $[0, \mathrm{e}^{-\tau/h}]$ 中奇异值计数函数的 Weyl 渐近公式，其中 $\tau>0$ 小于权重的振荡。我们还提供了 small $\tau > 0$ 区间中 Weyl 渐近公式主导项的 precise 描述。