弯曲时空中由标张量场导出狄拉克方程的 Weyl 不变推导

本工作中，我们给出从 4+K 维 Weyl 不变作用量原理出发，在弯曲时空中导出狄拉克方程的方法。狄拉克方程（以及一般量子力学）的 Weyl 不变性之所以可能，是因为我们观察到度规空间中 Weyl 标曲率与 Riemann 标曲率之差恰与 Bohm 量子势重合。这一情形允许量子力学的完全几何表述，即共形量子几何动力学（CQG），已证明其在厘清量子悖论某些方面以及简化如自旋-统计关联的困难定理证明等方面颇有助益。本工作将我们先前从平直 Minkowski 时空导出狄拉克方程的工作推广至一般弯曲时空。通过增添额外坐标并对相应群对称性进行规范，引入电荷与电磁场。所得狄拉克方程自然给出电子正确的回转磁比 $g_e=2$，但在两方面不同于标准量子力学（SQM）中的导出结果。首先，与时空 Riemann 标曲率的耦合在 CQG 中约为 1/4，而非 SQM 中的 1/2；其次，CQG 结果中出现两个极小的附加项，作为作用于粒子的标量势。一项依赖于电磁场张量的导数，另一项为标量 Kretschmann 项 $R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma}$。这两项在 SQM 中均不存在，仅当距离达到电子 Compton 波长量级或更小时才显著。特别是 Kretschmann 项，是在服从真空 Einstein 方程的外部引力场中唯一存留的项。这些微小差异使得 CQG 理论原则上可被极高精度实验所证伪。