例外李代数 $\mathfrak{g}_2$ 表示的权 $q$-重数

给定一个单李代数 $\mathfrak{g}$，Kostant 的权 $q$-重数公式是一个关于 Weyl 群的交错和，其各项涉及 Kostant 分拆函数的 $q$-类比。对于 $\xi$（$\mathfrak{g}$ 的一个权），Kostant 分拆函数的 $q$-类比是一个取值为多项式的函数，定义为 $\wp_q(\xi)=\sum c_i q^i$，其中 $c_i$ 是将 $\xi$ 写为 $\mathfrak{g}$ 的 $i$ 个正根之和的方式数。由此，Kostant 权 $q$-重数公式在 $q = 1$ 处的取值可恢复 $\mathfrak{g}$ 的最高权表示中一个权的重数。在本文中，我们给出计算例外李代数 $\mathfrak{g}_2$ 的最高权表示中权 $q$-重数的闭式公式。