关于 $\mathfrak{sp}_6(\mathbb{C})$ 的 Kostant 权 $q$-重数公式

Kostant 权 $q$-重数公式是在称为 Weyl 群的有限群上的交错和，其项涉及 Kostant 分拆函数的 $q$-类比。分拆函数的 $q$-类比是由 $\wp_q(\xi)=\sum_{i=0}^k c_i q^i$ 定义的取多项式值的函数，其中 $c_i$ 是将权 $\xi$ 恰好写为李代数 $\mathfrak{g}$ 的 $i$ 个正根之和的方式数。在 $q = 1$ 处对该 $q$-重数公式的求值恢复了 $\mathfrak{g}$ 的不可约最高权表示中一个权的重数。在本文中，我们专于李代数 $\mathfrak{sp}_6(\mathbb{C})$，并给出 Kostant 分拆函数 $q$-类比的闭公式，推广了 Shahi、Refaghat 与 Marefat 的近期结果。我们还描述了该重数公式的支撑集（称为 $\mathfrak{sp}_6(\mathbb{C})$ 的 Weyl 交错集），并利用这些结果给出任意一对 $\mathfrak{sp}_6(\mathbb{C})$ 支配整权的 $q$-重数闭公式。在整个工作中，我们提供代码以促进这些计算。